【Python入門】コーシー・シュワルツの不等式｜内積で確認する

「コーシー・シュワルツの不等式」は、Pythonで容易に検証することができます。

本記事では、Pythonを使用したコーシー・シュワルツの不等式の確認方法について、詳しくご説明します。

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コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式（Cauchy–Schwarz inequality）とは、2つのベクトルの内積について、それぞれのベクトルの大きさによって評価する不等式で、下式で表されます。

\(\left| x\cdot y\right| \leq \left| x\right|\left| y\right|\)

NumPyとSciPyを使用して、上記不等式が成り立つことを検証してみます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import norm

x = np.array([7, 5])
y = np.array([3, 9])

a = np.abs(np.dot(x, y))
b = norm(x) * norm(y)

print("|x||y|-|x・y| : {:.3f}".format(b - a))

#output
|x||y|-|x・y| : 15.609

三角不等式

コーシー・シュワルツの不等式から導かれる不等式として、三角不等式（triangle inequality）があります。

下式で表される三角不等式は、三角形における2辺の長さの和は他の辺の長さよりも常に大きいことを意味しています。

\(\left| x+y\right| \leq \left| x\right| +\left| y\right|\)

NumPyとSciPyを使用して、上記不等式が成り立つことを検証してみます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import norm

x = np.array([7, 5])
y = np.array([3, 9])

a = norm(x + y)
b = norm(x) * norm(y)

print("|x|+|y|-|x+y| : {:.3f}".format(b - a))

#output
|x|+|y|-|x+y| : 64.404

まとめ

この記事では、Pythonを使用したコーシー・シュワルツの不等式の確認方法について、ご説明しました。

本記事を参考に、ぜひ試してみて下さい。

参考

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