「行列式」は、Pythonで簡単に計算することができます。
本記事では、Pythonを使用した行列式の計算方法について、詳しくご説明します。
- Python初心者の人
- Pythonを使用した行列式の計算方法について学びたい人
行列式
行列式（determinant）とは、正方行列に定義される指標で、線形変換による空間の拡大率を表しています。
2次正方行列に対しては、下式のようにたすき掛け（サラスの方法）で計算されます。
\(\begin{vmatrix} ab \\ cd \end{vmatrix}=ad-bc\)
また任意の正方行列の行列式に対し、その転置行列の行列式は等しくなります。
scipy.linalg.det()
SciPyのscipy.linalg.det()を使用すると、引数に指定した行列の行列式を計算することができます。
#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det
x = np.array([[ 9, 7],
[-2, 5]])
tx = x.T
det_x = det(x)
det_tx = det(tx)
print("xの行列式 ：{}".format(det_x))
print("転置xの行列式：{}".format(det_tx))#output
xの行列式 ：59.0
転置xの行列式：59.0手計算でも容易に計算可能な、3次正方行列でも確認してみます。
#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det
x = np.array([[ 3, -9, 5],
[-2, 5, -6],
[ 7, -2, 1]])
tx = x.T
det_x = det(x)
det_tx = det(tx)
print("xの行列式 ：{}".format(det_x))
print("転置xの行列式：{}".format(det_tx))#output
xの行列式 ：184.0
転置xの行列式：184.0高次元行列の行列式
次に、NumPyのnumpy.random.randint()関数を使用して、高次元行列をランダムに作成し、その行列式を計算してみます。
#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det
# 乱数シードを1に設定
np.random.seed(1)
# 5次元正方行列の作成（数値は-99～99）
x = np.random.randint(-99, 100, (5, 5))
print(x)
det_x = det(x)
print("{:.3e}".format(det_x))#output
[[-62 41 -27 38 34]
[-20 93 45 30 -28]
[ 35 -74 79 -79 2]
[ 47 40 57 58 43]
[-49 -31 -3 -13 42]]
4.250e+08行列式の値は、その行列が線形独立の場合には上記のように、0以外の値となりますが、線形従属の場合、0を取ります。
以下にランダムな3次正方行列を１00万個生成し、そのうち何個が線形従属となるか確認してみます。
#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det
# 乱数シードを1に設定
np.random.seed(1)
# jの初期値
j = 0
# 3次元正方行列を100万個作成（数値は-99～99）
for i in range(10**5):
x = np.random.randint(-99, 100, (3, 3))
if det(x) ==0:
j += 1
print("線形従属の個数：{}".format(j))#output
線形従属の個数：2指定した数値範囲や乱数シードによりますが、上記条件の場合、線形従属となる行列は、100万個のうち、たった2個であることが検証できました。
まとめ
この記事では、Pythonを使用した行列式の計算方法について、ご説明しました。
本記事を参考に、ぜひ試してみて下さい。
参考
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