【Python入門】行列式の計算｜det()関数を学ぶ

「行列式」は、Pythonで簡単に計算することができます。

本記事では、Pythonを使用した行列式の計算方法について、詳しくご説明します。

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行列式

行列式（determinant）とは、正方行列に定義される指標で、線形変換による空間の拡大率を表しています。

2次正方行列に対しては、下式のようにたすき掛け（サラスの方法）で計算されます。

\(\begin{vmatrix} ab \\ cd \end{vmatrix}=ad-bc\)

また任意の正方行列の行列式に対し、その転置行列の行列式は等しくなります。

scipy.linalg.det()

SciPyのscipy.linalg.det()を使用すると、引数に指定した行列の行列式を計算することができます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det

x = np.array([[ 9, 7],
              [-2, 5]])

tx = x.T

det_x = det(x)
det_tx = det(tx)

print("xの行列式　　：{}".format(det_x))
print("転置xの行列式：{}".format(det_tx))

#output
xの行列式　　：59.0
転置xの行列式：59.0

手計算でも容易に計算可能な、3次正方行列でも確認してみます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det

x = np.array([[ 3, -9,  5],
              [-2,  5, -6],
              [ 7, -2,  1]])

tx = x.T

det_x = det(x)
det_tx = det(tx)

print("xの行列式　　：{}".format(det_x))
print("転置xの行列式：{}".format(det_tx))

#output
xの行列式　　：184.0
転置xの行列式：184.0

高次元行列の行列式

次に、NumPyのnumpy.random.randint()関数を使用して、高次元行列をランダムに作成し、その行列式を計算してみます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det

# 乱数シードを1に設定
np.random.seed(1)

# 5次元正方行列の作成（数値は-99～99）
x = np.random.randint(-99, 100, (5, 5))

print(x)

det_x = det(x)
print("{:.3e}".format(det_x))

#output
[[-62  41 -27  38  34] 
 [-20  93  45  30 -28] 
 [ 35 -74  79 -79   2] 
 [ 47  40  57  58  43] 
 [-49 -31  -3 -13  42]]
4.250e+08

行列式の値は、その行列が線形独立の場合には上記のように、0以外の値となりますが、線形従属の場合、0を取ります。

以下にランダムな3次正方行列を１00万個生成し、そのうち何個が線形従属となるか確認してみます。

#input
import numpy as np
from scipy.linalg import det

# 乱数シードを1に設定
np.random.seed(1)

# jの初期値
j = 0

# 3次元正方行列を100万個作成（数値は-99～99）
for i in range(10**5):
    x = np.random.randint(-99, 100, (3, 3))
    if det(x) ==0:
        j += 1
print("線形従属の個数：{}".format(j))

#output
線形従属の個数：2

指定した数値範囲や乱数シードによりますが、上記条件の場合、線形従属となる行列は、100万個のうち、たった2個であることが検証できました。

まとめ

この記事では、Pythonを使用した行列式の計算方法について、ご説明しました。

本記事を参考に、ぜひ試してみて下さい。

参考

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